একটি পাত্রে পানি ও সিরাপ ৩ঃ ৫ অনুপাতে মিশ্রিত রয়েছে । কতটুকু মিশ্রণ উঠিয়ে নিয়ে তার পরিবরর্ত পানি যুক্ত করলে তরল দুটির অনুপান ৫০ঃ৫০ হবে?

ধরি, পাত্রে মোট মিশ্রণের পরিমাণ \(V\) একক।

প্রাথমিকভাবে পানি ও সিরাপের অনুপাত = ৩ : ৫

মিশ্রণে মোট অনুপাতিক ভাগ = \(৩ + ৫ = ৮\)

সুতরাং, প্রাথমিক অবস্থায় পানির পরিমাণ = \(\frac{৩}{৮}V\)

এবং সিরাপের পরিমাণ = \(\frac{৫}{৮}V\)

ধরি, মিশ্রণ থেকে \(x\) অংশ উঠিয়ে নেওয়া হলো।

উঠিয়ে নেওয়া মিশ্রণের পরিমাণ = \(xV\) একক।

উঠিয়ে নেওয়ার পর অবশিষ্ট মিশ্রণের পরিমাণ = \((V - xV) = V(1-x)\) একক।

এই অবশিষ্ট মিশ্রণেও পানি ও সিরাপের অনুপাত ৩:৫ থাকবে।

সুতরাং, অবশিষ্ট মিশ্রণে পানির পরিমাণ = \(\frac{৩}{৮} \times V(1-x)\)

এবং অবশিষ্ট মিশ্রণে সিরাপের পরিমাণ = \(\frac{৫}{৮} \times V(1-x)\)

এখন, উঠিয়ে নেওয়া \(xV\) পরিমাণ মিশ্রণের পরিবর্তে \(xV\) পরিমাণ পানি যোগ করা হলো।

নতুন মিশ্রণে মোট পানির পরিমাণ = \(\frac{৩}{৮}V(1-x) + xV\)

নতুন মিশ্রণে সিরাপের পরিমাণ = \(\frac{৫}{৮}V(1-x)\) (কারণ শুধু পানি যোগ করা হয়েছে, সিরাপের পরিমাণ পরিবর্তিত হয়নি)

প্রশ্নমতে, নতুন মিশ্রণে পানি ও সিরাপের অনুপাত ৫০:৫০, যা ১:১ এর সমান।

অর্থাৎ, নতুন পানির পরিমাণ = নতুন সিরাপের পরিমাণ

\(\frac{৩}{৮}V(1-x) + xV = \frac{৫}{৮}V(1-x)\)

উভয়পক্ষকে \(V\) দ্বারা ভাগ করে পাই:

\(\frac{৩}{৮}(1-x) + x = \frac{৫}{৮}(1-x)\)

সমীকরণটির উভয়পক্ষকে ৮ দ্বারা গুণ করে পাই:

\(৩(1-x) + ৮x = ৫(1-x)\)

\(৩ - ৩x + ৮x = ৫ - ৫x\)

\(৩ + ৫x = ৫ - ৫x\)

\(৫x + ৫x = ৫ - ৩\)

\(১০x = ২\)

\(x = \frac{২}{১০}\)

\(x = \frac{১}{৫}\)

সুতরাং, মিশ্রণের \(\frac{১}{৫}\) অংশ উঠিয়ে নিয়ে তার পরিবর্তে পানি যোগ করলে তরল দুটির অনুপাত ৫০:৫০ হবে।

এই ধরনের অঙ্কের ক্ষেত্রে, যে উপাদানটি যোগ করা হচ্ছে না, তার পরিমাণের উপর ফোকাস করলে সহজে সমাধান করা যায়। এখানে পানি যোগ করা হচ্ছে, কিন্তু সিরাপের পরিমাণ অপরিবর্তিত থাকছে (শুধু মিশ্রণ উঠিয়ে নেওয়ার সময় কমেছে, কিন্তু পরে যোগ করা হয়নি)।

প্রাথমিক মিশ্রণে সিরাপের অনুপাত = \(\frac{৫}{৩+৫} = \frac{৫}{৮}\)

ধরি, \(x\) অংশ মিশ্রণ উঠিয়ে নেওয়া হয়েছে।

যখন \(x\) অংশ মিশ্রণ উঠিয়ে নেওয়া হয়, তখন অবশিষ্ট মিশ্রণের পরিমাণ হয় মোট মিশ্রণের \((1-x)\) অংশ। এই \((1-x)\) অংশে সিরাপের অনুপাত অপরিবর্তিত থাকে।

অতএব, উঠিয়ে নেওয়ার পর অবশিষ্ট মিশ্রণে সিরাপের পরিমাণ = প্রাথমিক সিরাপের পরিমাণ \(\times (1-x) = \frac{৫}{৮}(1-x)\)

এখন, উঠিয়ে নেওয়া মিশ্রণের পরিমাণের সমান পানি যোগ করা হলো। যেহেতু পানি যোগ করা হয়েছে, সিরাপের পরিমাণে কোনো পরিবর্তন হবে না, কিন্তু মোট মিশ্রণের পরিমাণ আগের মতোই থাকবে।

নতুন মিশ্রণে পানি ও সিরাপের অনুপাত ৫০:৫০, অর্থাৎ ১:১।

সুতরাং, নতুন মিশ্রণে সিরাপের অনুপাত = \(\frac{১}{১+১} = \frac{১}{২}\)

প্রশ্নমতে, নতুন মিশ্রণে সিরাপের পরিমাণ হবে মোট মিশ্রণের \(\frac{১}{২}\) অংশ।

অতএব, \(\frac{৫}{৮}(1-x) = \frac{১}{২}\)

\(1-x = \frac{১}{২} \times \frac{৮}{৫}\)

\(1-x = \frac{৮}{১০}\)

\(1-x = \frac{৪}{৫}\)

\(x = ১ - \frac{৪}{৫}\)

\(x = \frac{৫-৪}{৫}\)

\(x = \frac{১}{৫}\)